问题发现

众所周知，一般来说，随着科技的逐渐发展，越来越多男朋友女朋友们通过做高等数学打发时间。这不，这天王小明同学就发来疑问，询问这道题怎么做了。

设 $f(x)=\int_0^xte^{\sin{t}} \mathrm{d}t$ ，则当 $x\to0$ 时， $f(x)$ 为无穷小 $x$ 的多少阶？

于是，一众大神前来指点迷津，各显神通。解题方法那是层出不穷.

比如利用洛必达+泰勒的方式：

$\because \frac{\mathrm{d}f(x)}{ \mathrm{d}x}=x·e^{\sin x}\\ x·e^{\sin x}=x+o(x)\;\;\;\;\;\;\;(x\to 0)\\ \therefore f(x)=x^2+o(x^2)$

再比如，还有利用 拉格朗日 的方式：

$f(x)=\int_0^xte^{\sin{t}} \mathrm{d}t=x·(\xi e^{\sin \xi})\;\;\;\;\xi\in(0,x)$

通过论证“ $\xi$ 与 $x$ 同阶”而得到 $f(x)\sim x^2$ 的结论.

这时，李大福就不满意了，你如何得出 $\xi$ 和谁同阶呢？

于是，李大福出了另一道题来反驳，题目如下：

$f(x)=\int_0^{x^2}t^2\mathrm{d}t$ 几阶？

显然，利用洛必达不会出现问题，而利用拉格朗日： $f(x)=x^2\xi^2$ ，就会得出4阶的结论

正当李大福洋洋得意之时，河神跑来了。河神指出， $\xi$ 并不是一成不变的，它和其上限同阶。于是这类题被河神总结如下：

$\begin{aligned} 记&F(x)=\int_0^{f(x)}g(x)\mathrm{d}x,其中f(x)\sim x^n,g(x)\sim x^m\\\\ \color{blue}{方法一:}&\frac{\mathrm d F(x)}{\mathrm dx}=f'(x)g[f(x)]\sim x^{n-1}\times x^{mn}\\ &故:F(x)\sim x^{n(m+1)}\\\\ \color{blue}{方法二:}&F(x)=f(x)g(\xi),其中g(\xi)\sim x^{mn}\\ &于是,有:F(x)\sim x^{n(m+1)}\\ \\ &下面证明:\xi \sim x^n\\ &记G(x)=\int_0^{f(x)}x\;\mathrm dx,显然有:\\ &\frac{\mathrm{d}G(x)}{\mathrm d x}=f'(x)f(x)\sim x^n\times x^{n-1}\\ &于是:G(x)=f(x)·\xi\sim x^{2n},即\xi \sim x^n \end{aligned}$

王小明觉得受益匪浅，于是为了激励大家，出了另一道题对自己乃至大家进行检验：

$f(x)=\int_{-\frac{1}{2}x^2} ^{\ln (1+x)-x}t^2\mathrm d t$ 几阶？

王小明指出，这道题用拉格朗日可以很简单得出答案：

$f(x)=[\ln (1+x)-x+\frac 1 2x^2]\xi^2\sim \frac 1 3x^3·(x^2)^2\sim x^7$

当然，得先论证 $\xi \sim x^2$ .

那么，这题用洛必达怎么做呢？

$f(x)=\int_0^{ln (1+x)-x}t^2dt-\int_0^{-\frac 1 2x^2}t^2dt\\ \frac{\mathrm d f(x)}{\mathrm d x}=[ln (1+x)-x]^2\times(-\frac{x}{1+x})+\frac 1 4x^5\\ 而\ln (1+x)-x= -\frac 1 2x^2+o(x^2)\\ 所以最终得到:\frac{\mathrm d f(x)}{\mathrm d x}\sim x^6$

王小明提出疑问，为什么 $[ln (1+x)-x]^2$ 可以只展开两项？换句话说，复合函数的泰勒展开究竟如何书写才不会漏写多写呢？

于是，终于引出了今天的主题：复合函数的泰勒展开式

具体实例与算法

$f(x)=\sin x\times(x-\sin x)$ 是几阶？

我们知道， $\sin x= x-\frac 1 {3!}x^3+\frac 1 {5!}x^5-...$

所以相应的有， $x-\sin x=\frac 1 {3!}x^3-\frac 1 {5!}x^5+...$

我们将 $f(x)$ 分为左右两个部分，即把 $\sin x$ 看作左， $(x-\sin x)$ 看作右，因此，二者相乘其实就是对 $x$ 的阶数进行配对。

于是我们可以得到如下集合：

$\begin{aligned} INPUT:&\\ &Left=\{x,x^3,x^5,...\}\\ &Right=\{x^3,x^5,x^7,...\}\\ OUTPUT:&\\ &Ans=Left\times Right \end{aligned}$

显然， $Ans$ 的结果由两个集合构成， $Ans$ 中 $x$ 的阶数由两个集合中的阶数配对而成。

例如 $Left$ 中的 $x$ 可以和 $Right$ 中的 $x^3$ 配对得到 $x^4$ ，这是唯一的。但是也有不唯一的情况；

例如 $Ans$ 中的 $x^6$ 可以由 $Left$ 中的 $x$ 和 $Right$ 中的 $x^5$ 配对得到，也可以由 $Left$ 中的 $x^3$ 和 $Right$ 中的 $x^3$ 配对得到.

因此，我们要做的工作就是：

找到 $Ans$ 当前最小的阶数，计算其系数是否为0，如果不是则返回其阶数程序结束，否则将其弹出并继续寻找和计算，直到所有阶数可能性都被弹出， $Ans$ 为空集时程序结束。

显然，这是一个组合优化问题，甚至有可能属于是 $NP-hard$ ，考虑最坏情况，其时间复杂度是 $O(nm)$ （大概）

当然在实际考研数学（高等数学）中，最高不会让我们算太多，所以手算是可以完全满足需求的。

不过这需要我们展开很多项依次试探性计算，一点也不人性化呀！

但是天无绝人之路，既然解决不了问题，~~我们就解决出题的人~~。我们就可以改变问题。

是的，上述做法是因为我们将原式看作乘法来处理了，事实上还有优化方法。

注意到： $\sin x (x-\sin x)=x\sin x-\sin ^2x$

所以我们可以把乘法变成加减法来降低手算成本！同样地，通过减号分为两个部分，于是有：

$x\sin x=x^2-\frac 1 {3!}x^4+...\\ \sin^2x=(x-\frac 1 {3!}x^3+...)^2$

所以问题简化为：

$\begin{aligned} INPUT:&\\ &Left=\{x^2,x^4,x^{6},...\}\\ &Right=\{x,x^3,x^5,...\}\times \{x,x^3,x^5,...\}=\{x^2,x^4,x^6,...\}\\ OUTPUT:&\\ &Ans=Left+ Right \end{aligned}$

虽然 $Right$ 中不可避免地还是出现了相乘的情况，但是对于 $Ans$ 我们可以轻易得出结果。

我们可以快速判断出， $x$ 的阶数只可能在2、4、6等之中去取，不会出现1、3、5.

对于这道题，显然 $x^2$ 的时候 $Left$ 和 $Right$ 的系数都是1，二者相减之后就被抵消了。所以，最小阶数就是4.

即： $f(x)=\sin x\times(x-\sin x)\sim x^4$

QED.

$f(x)=\sin x(\cos x-4)+3x$ 是几阶？

第一眼我们会想当然地得到如下解法：

$\cos x-1\sim\frac 1 2x^2\\ \sin x\sim x\\ 于是:f(x)=\sin x(\cos x-1)-3\sin x+3x\\ =\frac 1 2x^3+o(x^3)\sim x^3$

然而，当我们用洛必达进行验证的时候会发现， $f(x)$ 是 $x^3$ 的高阶无穷小，换句话说这个做法是错误的。

错误原因在于我们只展开了1~2项导致系数未完全抵消从而保留了错误阶数。

再次利用上面的求解思路我们走一遍流程：

$\begin{aligned} INPUT:\\ &A_1=\{x^1,x^3,x^5,x^7,...\}\\ &A_2=\{\cos x-1\}=\{x^2,x^4,x^6,x^8,...\}\\ &有:A_1\times A_2 =\{x^3,x^5,x^7,...\}\\ &A_3=A_1=\{x^1,x^3,x^5,x^7,...\}\\ &A_4=\{x\}\\ OUTPUT:\\ &Ans=A_1\times A_2-A_3+A_4 \end{aligned}$